Mostrando resultados del 1 al 6 de 6

Tema: Sumar infinitos términos...

  1. #1
    Gran Colaborador Avatar de ajr784
    Fecha de Ingreso
    marzo-2007
    Mensajes
    1.561
    Gracias obtenidos: 306

    Predeterminado Sumar infinitos términos...

    Esto es algo que realmente me raya. Me gusta mucho porque muestra lo lindo de las matemáticas.
    Si tomamos una serie como la siguiente:
    Código:
    1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...... + 1/2^n.......
    Si uno pudiera sumar infinitos términos (que sabemos que no podemos), esa suma daría como resultado el número 2... qué me dice ésto? que no importa cuantos términos uno sume, el resultado va a ser 2. ¿Cómo se demuestra ésto?
    Código:
    S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1 /8 + ...... + 1/2^n.....
    Si multiplicamos ambos miembros por 2, la igualdad se mantiene:
    Código:
    2*S = 2 * (1 + 1/2 + 1/4 + 1 /8 + ...... + 1/2^n.....)
    Aplicando la distributiva:
    Código:
    2*S = 2 * 1+ 2/2 + 2/4 + 2/8 + ...... + 2/2^n.....
    2*2 = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 +..........+ 1/2^(n-1)........
    Si nos fijamos bien, después del 2, aparece S de nuevo. Entonces podemos escribir:
    Código:
    2*S = 2 + S
    Por simple álgebra, pasa S restando:
    Código:
    2*S - S = 2
    S = 2
    Verdad que te raya un toque? Lo más gracioso es que tiene una explicación mucho más bonita
    Supongamos que tenemos dos puntos separados por 2 unidades (cualquier unidad, supongamos 2 metros). Cada tick de tiempo hago avanzar uno de los extremos la mitad de lo que le falta llegar al otro punto. Entonces nos queda que
    1°) Se encuentran a 2m
    2°) Se encuentran 1m
    3°) Se encuentran a 1/2m
    4°) Se encuentran a 1/4m
    5°) Se encuentran a 1/8m
    ...........
    n°) Se va a encontrar a 1/2^n m

    (Ok, desde que descubrí la carita me copó)... La primera vez que lo escuché me flashió!.


    Ahora hay otra mucho más interesante.
    Supongamos ahora que tenemos ésta serie:
    Código:
    1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1..........
    Dependiendo de cómo agrupemos, puede dar dos resultados, por ejemplo si agrupamos:
    Código:
    (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1..........
    Es obvio que el resultado es 0, pero también podemos agrupar por:
    Código:
    1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) +  (- 1 + 1)..........
    Ahora, el resultado es 1... es decir que depende de cómo se agrupe el resultado varía*
    Sin embargo, éste es lo que me gustó. Existe un resultado más que puede obtenerse 1/2 (0.5), si sumando y restando 1 (números enteros) dar la mitad de la unidad.... ¿cómo? Otra vez:
    Código:
    S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1..........
    Ahora, a 1 restémosle S:
    Código:
    1 - S= 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1..........
    Con lo cual quitando paréntesis quedaría:
    Código:
    1 - S= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1..........
    Ahora está lo interesante, la parte derecha es S de nuevo:
    Código:
    1 - S = S
    WTF! y por simple álgebra otra vez:
    Código:
    1 = S + S
    1 = 2*S
    1/2 = S
    ahí está, no es hermoso. Locura total!, y es que en el infinito las cosas se ponen raras, hay que tratarlo con cuidado.

    Nota para *: cuando uno hace estudios, se dice que la serie es no convergente, es decir no tiene resultado.

    Sólo quería exponerlo porque me gustó mucho. Existe un canal en youtube [SOLO LOS USUARIOS REGISTRADOS PUEDEN VER LOS ENLACES. ], aunque ya lo conocía de antes, me gustó mucho cómo lo explica a éstos dos casos:

    [SOLO LOS USUARIOS REGISTRADOS PUEDEN VER LOS ENLACES. ]
    [SOLO LOS USUARIOS REGISTRADOS PUEDEN VER LOS ENLACES. ]
    Cita Iniciado por Los Redondos y El Soldado
    Curastes todas tus heridas con agua podrida
    le mentistes al diablo tres veces vendiendole flore,
    y te llevastes en andas al angel de los perdedore.
    -- Angel de los perdedores --

  2. El Siguiente Usuario Agradeció a ajr784 Por Este Mensaje:

    cuban (29-jun-2013)

  3. #2
    Gran Colaborador Avatar de cuban
    Fecha de Ingreso
    enero-2010
    Mensajes
    1.220
    Gracias obtenidos: 331

    Predeterminado Respuesta: Sumar infinitos términos...

    Bastante curioso e interesante
    Hoy me quito el sombrero, La gabardina, y el plumero. Hoy regalo mi sonrisa, Y subasto mi alegría, Por estar un minuto a tu lado. Hoy me despido de tu mirada, De tus juegos inocentes. Hoy te abrazo con el alma, Y te doy un beso en la frente.

  4. #3
    Gran Colaborador Avatar de LaFamily
    Fecha de Ingreso
    agosto-2011
    Mensajes
    1.054
    Gracias obtenidos: 362

    Predeterminado Respuesta: Sumar infinitos términos...

    Todo se basa en la logica y el porque de las cosas.
    Asi como se camina por hay, por hay mismo tiene que estar la salida o el comiezo.

    Ahora que estudio estadistica me hace ver todo con una posibilidad mas extensa.

    Buen post colega.

    [SOLO LOS USUARIOS REGISTRADOS PUEDEN VER LOS ENLACES. ]


  5. #4
    Moderador Global Avatar de zolo
    Fecha de Ingreso
    septiembre-2005
    Mensajes
    10.238
    Gracias obtenidos: 1083

    Predeterminado Respuesta: Sumar infinitos términos...

    En realidad y si se coje lo mas básico, es la perogrullada de que la suma de las sucesivas mitades que quedan de un todo es igual a ese todo
    [SOLO LOS USUARIOS REGISTRADOS PUEDEN VER LOS ENLACES. ]

  6. #5
    Gran Colaborador Avatar de ajr784
    Fecha de Ingreso
    marzo-2007
    Mensajes
    1.561
    Gracias obtenidos: 306

    Predeterminado Re: Respuesta: Sumar infinitos términos...

    Perdón zolo, no entendí:
    ¿qué es "perogrullada?
    por ahí conociendo eso, pueda entender un poco más.
    Cita Iniciado por Los Redondos y El Soldado
    Curastes todas tus heridas con agua podrida
    le mentistes al diablo tres veces vendiendole flore,
    y te llevastes en andas al angel de los perdedore.
    -- Angel de los perdedores --

  7. #6
    Moderador Global Avatar de zolo
    Fecha de Ingreso
    septiembre-2005
    Mensajes
    10.238
    Gracias obtenidos: 1083

    Predeterminado Respuesta: Sumar infinitos términos...

    hola ajr, una perogrullada es una afirmación cierta muy evidente

    saludos
    Última edición por zolo; 29-jun-2013 a las 19:58
    [SOLO LOS USUARIOS REGISTRADOS PUEDEN VER LOS ENLACES. ]

Temas Similares

  1. Respuestas: 4
    Último mensaje: 22-may-2012, 04:04
  2. Respuestas: 7
    Último mensaje: 11-feb-2012, 01:48
  3. [Solucionado] Sumar campos con 'for'
    By El92rozn in forum Java Script
    Respuestas: 11
    Último mensaje: 05-jul-2011, 11:11
  4. Términos básicos a comprender
    By Cyber-RaT in forum Bug y Exploits
    Respuestas: 0
    Último mensaje: 07-jun-2011, 20:46
  5. [Solucionado] Multiplicar números impares y sumar los pares
    By ka3los in forum Visual Basic y Net
    Respuestas: 4
    Último mensaje: 10-may-2011, 15:55

Normas de Publicación

  • No puedes crear nuevos temas
  • No puedes responder mensajes
  • No puedes subir archivos adjuntos
  • No puedes editar tus mensajes
  •